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2016年12月16日 (金)

ピストン・クランクの運動(1)

 バルブ構造は、代表的なエンジンの機械力学分野である。もう一つ重要なエンジンの機械力学要素は、ピストンとクランク運動である。

 クランク半径をR、コンロッドの長さをℓ、クランク角をθ、コンロッドの傾斜角をφとする。コンロッド長とクランク半径の連桿比(れんかんひ)をλ(=ℓ/R)とおくと、ピストンの変位xは、

x = R + ℓ - (Rcosθ + ℓcosφ)

となる。cosθが 1 - (sin^2θ/λ^2)であることから、xを二項定理で展開して2項目までで近似すると、

x = R {(1 - cosθ) + ( 1 - cos2θ) / 4λ}

となる。ピストン速度vとピストン加速度αはxをそれぞれ一階微分、二階微分すると得られるので、角速度をωとすると、

v = dx/dt = (dx/dθ)(dθ/dt) = (dx/dθ)ω = Rω{sinθ+ (1/2λ)sin2θ}

α= dv/dt = (dv/dθ)(dθ/dt) = (dv/dθ)ω = Rω^2(cosθ+ cos2θ/λ)

となる。

 平均ピストン速度は、クランクの回転速度をn[rpm]とすると、Ln/30(Lは行程)となる。一方、ピストンの最高速度は Rω = ωL/2 = πLn/60 となり、平均速度のおよそ1.6倍ということがわかる。

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